https://nl.wikipedia.org/wiki/Bestand:Venn_A_intersect_B.svg

Doorsnede van verzameling A en B(overlapping van de twee cirkels)

In de verzamelingenleer is de doorsnede, of intersectie van een aantal verzamelingen de verzameling die bestaat uit de gemeenschappelijke elementen van de samenstellende verzamelingen. De doorsnede van de verzamelingen $A$ en $B$ wordt genoteerd als $A\cap B$ .

Als twee verzamelingen een lege doorsnede hebben, noemt men ze disjunct. Als ze een niet-lege doorsnede hebben, wordt soms gezegd dat ze elkaar snijden.

Voorbeelden[bewerken]

De doorsnede van de verzamelingen {1, 2, 3} en {2, 3, 4} is de verzameling {2, 3}.

Het getal 9 is geen element van de doorsnede van de verzameling priemgetallen {2, 3, 5, 7, 11, ...} en de verzameling oneven getallen {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

Bekijk het filmpje van som 2

HERLEIDEN

1. Optellen en aftrekken

In de formule b = 4w + 3w + 6 noem je 4w en 3w gelijksoortige termen.
Gelijksoortige termen kun je samennemen.
Op die manier kun je de formule korter schrijven als b = 7w + 6.

In de formule p = 4a + 2 + 2b staan geen gelijksoortige termen.
Daarom kun je deze formule niet korter schrijven.
Je antwoord dan 'k.n.' of 'kan niet korter'.
Let op: a² en a zijn geen gelijksoortige termen.

Voorbeelden

a + a = 2a
a – a = 0
3a + 7a = 10a
3a + 7b = kan niet korter
8a – 10a = –2a
20a – a = 19a
8a² + 3a² = 11a²
4a² + 2a = kan niet korter , omdat ze niet dezelfde termen hebben

Som 3

2. Vereenvoudigen

Vereenvoudigen doe je door de teller en de noemer door dezelfde factor te delen.
Zie breuken voor meer uitleg over breuken.
Uiteraard kan je ook delen door een factor waar een variabele in zit.

Voorbeelden

20x32 = 5x8 = 58x
2032x = 58x
3xy–6y = x–2 = –12x (met y ≠ 0)*
3(x + y)2(x + y) = 32 = 112 (met x ≠ –y)*
Let op: 3 + x3x kan niet korter worden geschreven!

* In de originele breuk 3xy–6y is er geen uitkomst voor y = 0.
Je kan echter in de vereenvoudigde formule wel y = 0 invullen.
Dit mag niet vanwege het origineel. Dus schrijf je tussen haakjes dat y ≠ 0.

Bij het voorbeeld daaronder mogen x en y opgeteld niet nul zijn.

Bij 2032x = 58x is het niet nodig om (met x ≠ 0) op te schrijven.
In de vereenvoudigde formule heb je ook geen uitkomst als x = 0.

LET OP: In de DWO niet in de antwoordvakjes achter je antwoorden iets als
(met x ≠ 0) zetten, dat snapt de DWO niet!

Som 4

Machten herleiden

Rekenregels
Getalvoorbeelden	Formulevoorbeelden	Algemene formule
2³ × 2⁴ = 2⁷	`x`³ × `x`⁵ = `x`⁸	`a`ⁿ × `a`^m = `a`^n + m
3⁵3² = 3³	`x`⁷`x`⁴ = `x`³	`a`ⁿ`a`^m = `a`^n – m
(2³)⁴ = 2¹²	(`x`²)³ = `x`⁶	(`a`ⁿ)^m = `a`^n × m
(2 × 3)⁴ = 2⁴ × 3⁴	(`xy`)³ = `x`³`y`³	(`ab`)ⁿ = `a`ⁿ`b`ⁿ
(35)⁴ = 3⁴5⁴ = 81625	(`xy`)⁴ = `x`⁴`y`⁴	(`ab`)ⁿ = `a`ⁿ`b`ⁿ

Voorbeeld 1

(2a)³ – a × 7a² = 8a³ – 7a³ = a³

Voorbeeld 2

2a⁴ × 3(2a)³ = 2a⁴ × 38a³ = 2a⁴ × 38a³ = 6a⁴8a³ = 3a4 = 34a

Som 5

Haakjes wegwerken

In een formule staan soms haakjes. Deze haakjes kun je wegwerken.
Als een formule herleid moet worden, moeten altijd de haakjes weg gewerkt worden.

Het wegwerken van haakjes kan op drie manieren:
1. Rechthoekmethode
2. Papegaaienbekmethode
3. Vermenigvuldigtabel

Methode 1 levert tevens het bewijs dat beide formules gelijk zijn.

Handig is uiteraard om te weten dat de keer weggelaten mag worden.
Dus 5a betekent 5 × a en 4(3 + a) betekent 4 × (3 + a)

Enkele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = 2(p + 8) zonder haakjes schrijven.
Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van 2 en een breedte van p + 8.
rechthoek met hoogte 2 en breedte p + 8
De oppervlakte van deze rechthoek is 2 × p + 2 × 8 = 2p + 16. Dus:
q = 2(p + 8) = 2p + 16.

Je kan ook zien dat in de rechthoek het linkervakje een oppervlakte heeft van 2p en het rechtervakje van 2 × 8 = 16. Samen q = 2p+ 16.

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is de snelste van alle drie. Je weet dat je de factor die voor (of achter) de haakjes staat, moet vermenigvuldigen met de termen tussen de haakjes. Als hulp kan je pijlen (of lijen) tekenen van de factor naar de termen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen. Als je dit eenmaal doorhebt, dan hoef je de pijlen niet meer te tekenen.
3(2a + 4) = 6a + 12 met pijlen
Pijl 1 geeft 3 × 2a = 6a
Pijl 2 geeft 3 × 4 = 12

Methode 3: Vermenigvuldigtabel

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigtabel.
De factor komt in de eerste kolom te staan en de termen in de bovenste rij.
Dan ga je de factor vermenigvuldigen met de termen.

Voorbeeld
Herleid b = 5a(2a + 4)

×	2`a`	4
5`a`	10`a`²	20`a`

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit.
Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.
In dit geval dus b = 10a² + 20a

Voorbeelden enkele haakjes

b = 3a(5a + 3) = 15a² + 9a
b = 3a(5a – 3) = 15a² – 9a
b = 3a(–5a + 3) = –15a² + 9a
b = 3a(–5a – 3) = –15a² – 9a
b = –3a(5a + 3) = –15a² – 9a
b = –3a(5a – 3) = –15a² + 9a
b = –3a(–5a + 3) = 15a² – 9a
b = –3a(–5a – 3) = 15a² + 9a

Let op:
b = –(5a – 3) = –5a + 3
b = (4a – 7)3 = 12a – 21
b = (4a – 7) + 3 = 4a – 7 + 3 = 4a – 4

Voorbeeld voor gevorderden (tussenstappen staan onder elkaar):
–2a(b – 3c) – 5c(a + 2b) =
–2ab + 6ac – (5ac + 10bc) =
–2ab + 6ac – 5ac – 10bc =
–2ab + ac – 10bc

Dubbele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = (p + 3)(p + 8) zonder haakjes schrijven.
Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van p + 3 en een breedte van p + 8.
rechthoek met hoogte p + 3 en breedte p + 8
Je kan van ieder vakje de oppervlakte berekenen
De oppervlakte van de hele rechthoek is dan:
q = p² + 8p + 3p + 24 = p² + 11p + 24.

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is weer de snelste van alle drie. Je zorgt dat je iedere term tussen de eerste haakjes een keer vermenigvuldigt met elke termen tussen de tweede haakjes.
Als hulp kan je weer de pijlen (of lijnen) tekenen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen.
(4a + 3)(2a - 7) = 8a^2 - 28a + 6a -21 met pijlen
Pijl 1 geeft 4a × 2a = 8a²
Pijl 2 geeft 4a × –7 = –28a
Pijl 3 geeft 3 × 2a = 6a
Pijl 4 geeft 3 × –7 = –21
Deze tel je alle vier op en dan krijg je:
8a² – 28a + 6a – 21 = 8a² – 22a – 21

Methode 3: Vermenigvuldigtabel

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigtabel.
De twee termen van de eerste factor komen onder elkaar in de eerste kolom te staan
en de termen van de tweede factor naast elkaar in de bovenste rij.

Voorbeeld
Herleid b = (3 + 5a)(2a – 4)

×	2`a`	–4
3	6`a`	–12
5`a`	10`a`²	–20`a`

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit.
Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.
In dit geval dus b = 6a + –12 + 10a² + –20a = 10a² – 14a – 12.

Voorbeelden dubbele haakjes

(2`a` + 3)(4`a` + 3) = 8`a`² + 6`a` + 12`a` + 9 = 8`a`² + 18`a` + 9	(3`a` + 2)(5`a` – 3) = 15`a`² – 9`a` + 10`a` – 6 15`a`² + `a` – 6

(5`a` – 7)(4`a` – 6) = 20`a`² – 30`a` – 28`a` + 42 = 20`a`² – 58`a` + 42	(5`a` + 3`b`)(2`a` – 7`b`) = 10`a`² – 35`ab` + 6`ab` – 21`b`² = 10`a`² – 29`ab` – 21`b`²

–(2`a` + 4)(5`a` – 3) = –(10`a`² – 6`a` + 20`a` – 12 = –(10`a`² + 14`a` – 12) = –10`a`² – 14`a` + 12	5(3`a` + 5)(2`a` + 3) = 5(6`a`² + 9`a` + 10`a` + 15) = 5(6`a`² + 19`a` + 15) = 30`a`² + 95`a` + 75

(3`a` – 4`a`²)(5`a` – 3) = 15`a`² – 9`a` – 20`a`³ + 12`a`² = –20`a`³ + 27`a` – 9`a`	(3`a`²`b` – `b`³)(2`b`² – `a`) = 6`a`²`b`³ – 3`a`³`b` – 2`b`⁵ + `ab`³